Minggu, 04 Maret 2012

APA MATEMATIKA ITU



Oleh : Lalu Muhammad Fauzi

Matematika ditinjau dari objeknya, jelas bukan benda yang kongkrit tetapi berupa benda pikiran yang abstrak. Objek matematika yang abstrak diklasifikasikan menjadi fakta, konsep, operasi, dan prinsip (Bagle. 1985: 10).
1.      Fakta (Facts)
Apabila kita mengatakan “tiga”, dengan sendirinya tergambar symbol “3”. Sebaliknya bila kita melihat symbol “3” dengan sendirinya pula kita memadankan dengan kata “tiga”. Kaitan antara kata “tiga” dan simbol “3” merupakan fakta. Demikian pula halnya degan rangkaian kata “dua tambah tiga” dengan simbol “2 + 3” merupakan fakta. Kedua hal tersebut merupakan contoh fakta yang sederhana atau jenis fakta yang pertama.

Lain halnya dengan “3 x 4 = 12”, yang juga merupakan fakta, akan tetapi fakta ini dapat disimpulkan atau diturunkan dari fakta lain. Misalnya “4 + 4 + 4 = 12’, atau “(2 x 4) + (1 x 4) = 8 + 4 = 12”. Hal ini merupakan contoh fakta yang lain atau jenis fakta yang kedua.

2.      Konsep (Concepts)
Kita perhatikan kembali kata “tiga”. Sesungguhnya “tiga” itu sendiri sudah menunjukkan suatu konsep. Secara matematika pengertian “tiga” itu diabstraksikan dari adanya ekivalensi antara himpunan-himpunan. Begitu halnya dengan “satu”, “dua”, “empat”, dan seterusnya. Bagaimana halnya dengan “bilangan asli”. Ini juga suatu konsep, namun ia tersusun dari konsep-konsep lain yang lebih sederhana, yaitu “satu”, “dua”, “tiga”, “empat”, dan seterusnya (yang dimaksudkan adalah bilangannya, bukan tulisannya).

Dalam matematika sangat banyak konsep, misalnya “segitiga”, “bujursangkar”, “fungsi”, “matriks”, “vector”, dan sebagainya. Konsep-konsep ini pada umumnya disusun dari konsep-konsep dan fakta-fakta terdahulu. Untuk menujukkan suatu konsep digunakan “definisi” atau “batasan”. Seseorang dikatakan telah mengerti suatu konsep, misalnya “segitiga”, bila ia sudah dapat membedakan antara segitiga dan yang bukan segitiga.

3.      Operasi (Operation)
Telah dikemukakan di atas bahwa adanya ikatan antara simbol “2 + 3” dengan rangkaian kata “dua tambah tiga” sebagai fakta. Apa arti simbol “+” itu sendiri? Bila kita perhatikan, maka “+” berfungssi mengaitkan bilangan “2” dan “3” sehingga diperoleh bilangan “5” (dalam lingkup atau semesta yang sudah dikenal). Dalam hal ini “+” merupakan salah satu simbol operasi. Demikian juga dengan simbol “-“, “x”, “:” yang sudah dikenal. Jadi dapat dikatakan operasi adalah fungsi yang mengaitkan antara objek-objek matematika. Selain itu dikenal juga berbagai simbol operasi yang lain, baik yang sudah dibakukan maupun yang kita buat sendiri.

4.      Prinsip (Principle)
Kita perhatikan pernyataan “melalui satu titik di luar suatu garis lurus hanya dapat ditarik tepat satu garis yang tegak lurus dengan garis tersebut”. Ini salah satu contoh “prinsip” dalam geometri Euclides. Demikian pula pernyataan “jumlah dua bilangan ganjil adalah genap”, merupakan salah satu contoh “prinsip”  dalam aritmetika. Dengan demikian terlihat bahwa prinsip menyatakan hubungan antara dua atau lebih objek matematika. Objek yang dihubungkan itu dapat berupa fakta, operasi, atau prinsip yang lain. Prinsip-prinsip ini dapat berupa aksioma atau teorema.

Dari uraian di atas dapatlah dikemukakan bahwa objek matematika itu adalah abstrak. Ia hanya ada dalam pemikiran manusia. Kita tidak pernah dapat melihat dan meraba bilangan satu, kita tidak dapat melihat atau meraba garis lurus sebagaimana dimaksud dalam geometri Euclides. Apa yang kita amati dengan mata hanyalah simbolnya atau gambarnya saja.

Matematika dilihat dari bahasanya, selalu mempergunakan istilah-istilah yang didefinisikan dengan tepat dan ketat. Karena itu, di dalam matematika tidak akan ada istilah yang mendua arti dan juga menggunakan berbagai macam simbol atau lambang, sehingga sering dikatakan bahasa matematika adalah bahasa simbol. Simbol-simbol yang digunakan dalam matematika, banyak yang sudah diberi arti khusus, namun banyak pula yang masih “kosong dari arti”. Simbol-simbol yang sudah diberi arti telah dibakukan sehingga sama artinya di mana saja di dunia ini.

Sedangkan simbol-simbol yang masih kosong dalam arti, kita dapat memberi arti tertentu sesuai dengan lingkup atau semestanya. Misalnya x + y = 1, dalam hal ini x dan y masih kosong dari arti. Simbol (x,y), pasangan simbol x dan y ini masih kosong dalam arti. Apabila simbol itu dipakai dalam lingkup geometri analitik bidang, dapat berarti koordinat atau posisi suatu titik, misalnya titik (2,3); (5,8); dan sebagainya. Sedangkan di dalam aljabar dapat juga diberi arti bilangan kompleks x + yi yang mungkin berarti 2 + 3i; 5 + 8i dan sebagainya. Dengan adanya simbol-simbol matematika yang masih kosong dari arti, memberi peluang yang besar kepada matematika untuk digunakan di berbagai bidang ilmu dan kehidupan nyata.

Keberadaan matematika dewasa ini, dapat dipandang sebagai kumpulan berbagai struktur deduktif. Suatu struktur berpola deduktif diawali dengan penerimaan beberapa istilah yang tidak didefinisikan (undefined terms) yang biasa disebut “unsur primitif”. Di dalam geometri, misalnya “titik”, “garis”, dan “bidang” adalah unsur-unsur primitif.  Kemudian dengan unsur-unsur primitif itu dibuat aksioma atau postulat yang menyatakan saling berhubungan di antara unsur-unsur primitif tersebut. Misalnya “dua titik berbeda menentukan sebuah garis”. Setelah itu dibuat istilah-istilah yang didefinisikan atas dasar unsur-unsur primitif dan aksioma-aksiomanya. Akhirnya diperoleh teorema-teorema yang dibuktikan dengan menggunakan istilah-istilah yang didefinisikan dan aksioma-aksioma tersebut.

Adapun aksioma itu berupa pernyataan tertentu yang dapat diterima tanpa bukti (self evident truth), tetapi boleh juga berupa pernyataan yang disepakati dan dapat menghasilkan pernyataan-pernyataan lain secara logik (non self evident truth).7 Aksioma-aksioma itu selalu sifatnya umum dan kemudian diturunkan hingga diperoleh sifat-sifat khusus. Karena itu struktur matematika disebut berpola deduktif dan ini merupakan satu-satunya pola pikir yang diterima dalam matematika. Walaupun kenyataan menunjukkan banyak teorema di dalam matematika pada awalnya ditemukan secara intuitif atau induktif (ibid, 2007: 17). Akan tetapi teorema yang diperoleh secara induktif itu, selanjutnya harus ditunjukkan bukti kebenarannya secara deduktif formal. Misalnya: jumlah dua bilangan ganjil adalah genap, ini dapat dibuktikan dengan pola deduktif.

Jujun (1992: 172) menyatakan bahwa matematika merupakan salah satu puncak kegemilangan intelektual. Ciri utama matematika adalah metode dalam penalaran (reasoning). Menalar secara induksi dan analogi menumbuhkan pengamatan dan bahkan percobaan, untuk memperoleh fakta yang dapat dipakai sebagai dasar argumentasi. Karena deduksi menghasilkan kesimpulan yang dapat dippercaya seperti fakta yang mendasarinya, maka penerapan proses ini kepada fakta-fakta yang kebenaranya telah diketahui akan menghasilkan kebenaran baru. Kebenaran baru ini kemudian dapat dipakai kembali sebagai premis untuk suatu argumentasi deduktif yang lain.

Matematika sebagai bahan pelajaran yang diajarkan di sekolah adalah matematika sekolah. Matematika sekolah menurut Soedjadi adalah unsur-unsur atau bagian-bagian matematika yang dipilih atas dasar atau berorientasi kepada: a) makna kependidikan yaitu untuk mengembangkan kemampuan dan kepribadian peserta didik, dan b) tuntutan perkembangan yang nyata dari lingkungan hidup yang senantiasa berkembang seiring dengan kemajuan ilmu dan teknologi.
Dengan demikian, yang dimaksud dengan matematika adalah matematika sekolah yang memiliki objek, yaitu fakta, konsep, operasi, dan prinsip yang sifatnya abstrak serta penalarannya deduktif.



DAFTAR PUSTAKA



Hudoyo, Herman. 1988. Mengajar Belajar Matematika. Jakarta: Depdiknas.

Witherington, H. C., W. H. Burton, Bapensi. 1986. Teknik-teknik Belajar dan Mengajar. Bandung: Jemmars.

The Liang Gie. 1988. Cara Belajar yang Efesien. Yogyakarta: Pusat Kemajuan Studi.

Nana Sudjana. 1990. Teori-teori Belajar untuk Pengajaran. Jakarta. FEUI.

Slameto. 1991. Belajar dan Faktor-faktor yang Mempengaruhi. Jakarta: Rineka Cipta.

Bagle. 1985. “Critical variable in Mathematics Education” dikutip tidak langsung oleh Soedjadi, “Mencari Strategi Pengelolaan Pendidikan Matematika Menyongsong Tinggal Landas Pembangunan Indonesia 1985”, makalah disampaikan pada Pidato Pengukuhan, Surabaya.

Jujun S. Suriasumantrai. 1992. Ilmu dalam Perspektif. Jakarta: Yayasan Obor Indonesia.

Oemar Hamalik. 1990. Metode Belajar dan Kesulitan-kesulitan Belajar. Bandung: Tarsito.

I Gusti Ngurah Agung. 1993. Matematika untuk Ilmu Pengetahuan Sosial, makalah disajikan dalam konferensi matematika. Surabaya.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar